الكتلة، الكثافة الكتلية (أو الكتلة الحجمية) والكثافة النسبية، مصطلحات نستعملها في مواد العلوم خاصة في الفيزياء والكيمياء. غالبًا ما يحصل الكثير من اللغط في هذه المفاهيم واستعمالاتها، سواء بين الكتلة والكثافة الكتلية أو بين الكثافة الكتلية والكثافة النسبية. للتمييز بين هذه المفاهيم لا بد من الوقوف على تعريف كل منها وكيفية قياسها ليتوضح الاختلاف فيما بينها.

مفهوم الكتلة

الكتلة هي إحدى الخصائص الأساسيّة للأجسام. كتلة جسم ما هي عبارة عن مقدار أو كمية المادة التي يتكون منها الجسم بغض النظر عن حالته الحركية.
الكتلة هي قيمة متغيرة أي كلما زادت كمية الجسم زادت كتلته. كما أنها قيمة شاملة فكتلة جسم ما يتألف من عدة أجزاء تكون عبارة عن مجموع كتل الأجزاء التي تكوّنه.

قياس الكتلة

يُستخدم الميزان لقياس كتلة الجسم. يختلف الميزان المستعمل تبعاً للكتلة المراد قياسها. فهناك الميزان ذو الكفتين الذي كثيراً ما نراه عند باعة الخضار مثلاً؛ حيث توضع الأثقال (الكتلة) بالكيلوغرام على كفة الميزان ثمّ يوضع ما يقابلها من الخضراوات للحصول على الكتلة نفسها.

وهناك الميزان الرقمي الذي يُستعمل غالباً لقياس عدة غرامات، كالذي يُستخدم من قبل الصاغة (لقياس كتلة الذهب عند البيع والشراء) ويُستخدم أيضًا في الطبخ لقياس الأوزان الدقيقة بالغرام.

وحدة القياس

إن وحدة قياس الكتلة في النظام العالمي هي الكيلوغرام (كلغ). لكن تُستخدم الكثير من وحدات القياس المختلفة للكتلة. يعتمد اختيار وحدات القياس على الشيء المراد قياسه.

من الضروري اختيار وحدة قياس الكتلة التي تجعل من الممكن الحصول على رقم ليس كبيرًا جدًا ولا صغيرًا جدًا. فمثلا” إذا أردنا قياس كتلة الإنسان، فإن وحدة القياس المفضلة ستكون الكيلوجرام. أما إذا احتجنا إلى قياس كتلة نحلة، فسنستخدم المليغرام؛ لأن كتلة هذه الحشرة صغيرة جدًا.

هناك المزيد من وحدات القياس منها النانوغرام والميكروغرام التي تستعمل لقياس الكتل التي لا ترى بالعين المجردة، ومنها أيضاً الطن الذي يُستخدم لقياس الكتل الكبيرة حيث يساوي الطن ألف كيلوغرام.

فيما يلي جدول يوضح وحدات القياس الأكثر استعمالًا وطريقة التحويل من وحدة إلى أخرى:

إذاً كما نرى في الجدول إذا أردنا التحويل من وحدة أصغر إلى وحدة أكبر نقوم بالقسمة على مضاعفات العشرة.(كل انتقال خانة واحدة نقوم بالقسمة على عشرة أما خانتين فنقوم بالقسمة على مئة وهكذا). أما إذا أردنا التحويل من وحدة أكبر إلى وحدة أصغر فنقوم بالضرب بمضاعفات العشرة.( أيضًا خانة واحدة نضرب بعشرة، خانتين نضرب بمئة وهكذا).

بعض الأمثلة:

1 غرام يساوي 1000 ملليغرام (من غرام إلى ملليغرام نضرب بألف).

5 كيلوغرام يساوي 5000 غرام (من كيلوغرام إلى غرام نضرب بألف).

2 غرام يساوي 0.002 كيلوغرام (من غرام إلى كيلوغرام نقوم بالقسمة على ألف).

1 قنطار يساوي 100 كيلوغرام (بين قنطار وكيلوغرام يوجد خانتين لذلك نضرب بمئة).

مفهوم الكثافة الكتلية أو الكتلة الحجمية ρ (رو):

تعريف:

الكثافة الكتلية أو الكتلة الحجمية رمزها ρ (رو)، هي عبارة عن مقدار المادة (الكتلة) في مساحة معينة (وحدة حجم).
الكتلة الحجمية = الكتلة/ الحجم.

على الرغم من أن الكتلة والحجم ليسا خصائص ثابتة للجسم بل متغيّرة تتغيّر تبعاً للكميّة، فإن النسبة بين الكتلة وحجم المادة، أي الكثافة الكتلية (الكتلة الحجمية) هي خاصية ثابتة (طبعًا على حرارة وضغط محددين).

إذًا هي تميّز الجسم وبالتالي تساعد في التعرّف على الأجسام. كما أنها ثابتة أي أنها غير مرتبطة بكمية الجسم فسواء كنا نتحدث عن كمية كبيرة أم قليلة من الماء مثلًا تكون الكتلة الحجمية واحدة وثابتة لا تتغير على عكس الكتلة والحجم.

حساب الكثافة الكتلية (الكتلة الحجمية):

نحسب الكثافة الكتلية (أو الكتلة الحجمية) عبر قسمة كتلة الجسم (بالكيلوغرام أو الغرام) على حجمه (بالم³ أو سم³ أو الليتر أو الملليليتر).

وحدة القياس

كما ذكرنا سابقًا الكتلة الحجمية = الكتلة / الحجم، فإذا كانت الكتلة بالكيلوغرام (كلغ) والحجم بالمتر المكعب (م³) تكون بالتالي وحدة قياس الكتلة الحجمية هي كلغ/م³.

كما توجد وحدات أخرى أكثر استعمالًا مثل: غ/سم³ وكذلك غ/ملل و غ/ل.
يعتمد اختيار الوحدات للتعبير عن الكثافة الكتلية على حالة المادة.

• إذا كانت المادة في الحالة السائلة، يتم حساب الكثافة بالغرام لكل مليلتر (غ / ملل).
• إذا كانت المادة في الحالة الصلبة، يتم حساب الكثافة بالغرام لكل سنتيمتر مكعب (غ / سم³).
• وإذا كانت المادة في الحالة الغازية، يتم حساب الكثافة بالجرام لكل مليلتر (غ / ملل) أو بالغرام لكل سنتيمتر مكعب (غ / سم³).

مثال: إذا أردنا حساب الكثافة الكتلية لزيت الزيتون، نأخذ حجم محدد بواسطة الأسطوانة لنفرض 75 ملل، نقوم بقياس الكتلة بواسطة الميزان فنجد أنها تساوي 69 غرام.

نحسب الآن الكتلة الحجمية لزيت الزيتون:

الكتلة الحجمية لزيت الزيتون= كتلته/حجمه= 69 / 75= 0.92 غ/ملل.
الكتلة الحجمية للماء المقطر = 1 غ/ملل وهي 1غ/سم³ أيضًا.
بنفس المعادلة أيضًا نستطيع أن نحسب الكتلة الحجمية للصلب والغاز.

مفهوم الكثافة النسبية (d)

تعريف:

الكثافة النسبية هي نسبة الكتلة الحجمية للمادة إلى الكتلة الحجمية المرجعية.

ما الكتلة الحجمية المرجعية؟ تكون الكتلة الحجمية المرجعية هي الماء في حال المواد السائلة والمواد الصلبة. أما في حال المواد الغازية فيكون الهواء هو المرجع.

حساب الكثافة النسبية:

• في حال السائل والصلب:

الكثافة النسبية = الكتلة الحجمية للمادة/ الكتلة الحجمية للماء.
وبما أن الكتلة الحجمية للماء تساوي 1غ/ملل أو 1 غ/سم³ إذًا ستكون الكثافة النسبية للسائل والصلب مساوية لكتلته الحجمية لكن دون وحدة قياس.
مثلًا الكثافة النسبية لزيت الزيتون= كتلته الحجمية/ الكتلة الحجمية للماء= 0.92 (غ/ملل)/ 1(غ/ملل) = 0.92
الكثافة النسبية للماء المقطر = 1 (غ/ملل) / 1 (غ/ملل) = 1.

• في حال الغازات:

الكثافة النسبية = الكتلة الحجمية للمادة/ الكتلة الحجمية للهواء.
مثلًا الكثافة النسبية لثاني أكسيد الكربون = كتلته الحجمية/ الكتلة الحجمية للهواء.

علمًا أن الكتلة الحجمية لثاني أكسيد الكربون هي 0.00198 غ/سم³ والكتلة الحجمية للهواء هي 0.00129 غ/سم³.
وعليه تكون الكثافة النسبية لثاني أكسيد الكربون= 0.00198/ 0.00129= 1.534

وحدة القياس:

لا يتم التعبير عن الكثافة بالوحدات لأنها نسبة. فكما رأينا سابقًا هي تساوي الكتلة الحجمية للمادة مقسومة على الكتلة الحجمية المرجعية

وبالتالي يتم اختزال وحدات القياس المتطابقة أعلى وأسفل الكسر فتكون الكثافة النسبية دون وحدة قياس.

الخلاصة

• الكتلة هي مقدار المادة في الجسم، وهي كمية متغيرة تقاس بالميزان، وحدة قياسها هي الكيلوغرام ومضاعفاته الفرعية.
• الكثافة الكتلية وتسمى الكتلة الحجمية هي خاصية ثابتة للجسم لا تتغير مع تغير الكمية، وهي عبارة عن كتلة الجسم في وحدة حجم. نحسبها بقسمة الكتلة (كلغ أو غ) على الحجم (م³ أو سم³ أو ملل)، وعليه تكون وحدة قياسها كلغ/م³ أو غ/سم³ أو غ/ملل أو غيرها.
• الكثافة النسبية هي أيضًا خاصية ثابتة للجسم تساعد في التعرف على الأجسام نحسبها بقسمة الكتلة الحجمية للجسم على الكتلة الحجمية المرجعية (المرجع هو الماء للأجسام السائلة والصلبة أما للأجسام الغازية فالمرجع هو الهواء). للسوائل والصلب تكون الكثافة النسبية مساوية للكتلة الحجمية لكن دون وحدة قياس.

هذه كانت أهم الاختلافات بين المفاهيم الثلاثة يبقى أن تقوم ببعض التطبيقات للتمرس أكثر على عدم الخلط بينها.

اقرأ أيضًا:

ما هي الأعداد الأولية في الرياضيات

الأشكال الهندسية في الرياضيات

علم النفس التربوي ومجالاته

طريقة حساب النسبة المئوية ..  تتطلب بعض المواقف اليومية استخدام النسبة المئوية. نجدها تستعمل بشكل ملحوظ في شتّى المجالات، منها العلميّة (في العلوم كافّة، في الهندسة، في الدراسات الإحصائية، في الفلك و الجغرافيا وغيرها) ومنها في الحياة العملية (في التّسويق، في التجارة، في الاستثمارات وغيرها). يكاد لا يخلو قطاع من مصطلح النسبة المئوية. لذلك من المهم معرفة كيفية استخراج واستخدام النسبة المئوية.

ما هي النسبة المئوية:

تمثّل النسب المئويّة جزءاً من الكل وهو عدد دون وحدة قياس نتبعه بالإشارة % التي تعني بالمئة أو أحياناً / 100. وعليه يمثل هذا العدد القيمة التي يحتلّها الجزء من 100. مثلاً يمكننا أن نكتب 5% وهي تمثّل أيضاً 5/100 أي 0.05 من الوحدة بشكل آخر.
إذاً هي عمليّة أشبه بمقارنة قيمة الجزء من الكل مع قيمته من مئة. على سبيل المثال إذا أراد تاجر أن يقوم بحسومات تبلغ نصف قيمة المنتج يكتب “حسم 50%”، أي إذا كان ثمن المنتج 40 $ يصبح بعد الحسم 20 $. مقدار الحسم هو 20 من 40 والذي يمثّل كنسبة مئوية 50 من 100 فتُكتب 50%.

حساب النسبة المئوية:

يقوم حساب النسب المئوية على تحويل القيمة من المقدار الكلّي إلى قيمة من 100.
الطريقة الأسهل هي استخدام جدول التناسب. وهذا الجدول يساعد بتحويل القيمة الفعلية إلى نسبة مئوية وبالعكس. أفضل طريقة لشرحه هي استخدام الأمثلة:

مثال 1:

يبلغ عدد الطلاب في مدرسة إعدادية 740 طالب، منهم 222 ذكور و518 إناث.

• لحساب النسبة المئوية للذكور نستخدم معادلة التناسب كما يلي:

في الطرف الأول من المعادلة وضعنا عدد الذكور من العدد الكلي للطلاب، وفي الطرف الآخر وضعنا النسبة المكافئة المجهولة x من ال100.
نحسب الآن النسبة المئوية للذكور x :

كما لاحظنا لحساب x قمنا بضرب الأعداد المتقابلة في معادلة التناسب والقسمة على العدد المقابل ل x.

• الآن لحساب نسبة الإناث يمكننا فقط طرح نسبة الذكور من مئة، فتكون النسبة المتبقية هي للإناث:
  100 – 30 = 70 أي أن نسبة الإناث في المدرسة هي 70%.
  أو يمكن اتباع نفس الطريقة أعلاه (معادلة التناسب) وسنحصل على نفس النسبة. لنجرب إذاً:

نحسب الآن النسبة المئوية للإناث Y :

نلاحظ أن نسبة الإناث تكون 70% مطابقة لما حسبناه بالطريقة السابقة (طريقة الطرح من 100).

وعليه تكون نسبة الذكور في المدرسة 30% ونسبة الإناث 70%.

مثال 2:

في بستان يحتوي على 230 شجرة، توجد 138 شجرة زيتون، 69 شجرة لوز و23 شجرة مشمش. لنحسب النسب المئوية المناسبة لكل نوع من الأشجار.

• نبدأ بحساب النسبة المئوية لأشجار الزيتون، نستخدم معادلة التناسب كما يلي:

في الطرف الأول من المعادلة وضعنا عدد أشجار الزيتون من العدد الكلي للأشجار، وفي الطرف الآخر وضعنا النسبة المكافئة المجهولة x من ال100.
نحسب الآن النسبة المئوية لأشجار الزيتون x :

إذاً لحساب x قمنا بضرب الأعداد المتقابلة والقسمة على العدد المقابل ل x. نسبة أشجار الزيتون في البستان هي 60%.

• الآن نحسب نسبة أشجار اللوز y بالطريقة نفسها:

في الطرف الأول من المعادلة وضعنا عدد أشجار اللوز من العدد الكلي للأشجار، وفي الطرف الآخر وضعنا النسبة المكافئة المجهولة y من ال100.
نحسب الآن النسبة المئوية لأشجار اللوز y :

• لحساب نسبة أشجار المشمش يمكننا فقط طرح نسبة أشجار الزيتون و اللوز من مئة، فتكون النسبة المتبقية هي لأشجار المشمش:
  100 – (60 + 30) = 100 – 90 = 10 أي أن نسبة أشجار المشمش في البستان هي 10%.
  أو يمكن اتباع نفس الطريقة أعلاه (معادلة التناسب) وسنحصل على نفس النسبة. لنجرب إذاً:

نحسب الآن النسبة المئوية لأشجار المشمش z :

وعليه تكون نسبة أشجار المشمش في البستان 10% كما حسبناها بالطريقة السابقة. وتصبح النسب بالتتالي: في البستان 60% من الأشجار زيتون، 30% لوز و10% مشمش.

استخدام النسب المئوية:

في كثير من الأحيان نحتاج لتحويل النسبة المئوية إلى القيمة الحقيقية، مثلاً نحتاج لأن نعرف كم يكون حسم 35% من قيمة منتج ثمنه 250 دولاراً. أو في مثال آخر إذا كانت نسبة الكربوهيدرات في كعكة هي 42% وأحتاج أن أعرف كم تكون كمية الكربوهيدرات التي أستهلكها في كعكة وزنها 170 غرام. نلاحظ أن ما علينا عمله هو عكس ما مرّ سابقاً.

سنستعمل معادلة التناسب نفسها التي سبق أن طبقناها كما سيرد في الأمثلة التالية:

مثال 1:

لنفترض أنك ترغب بشراء منتج ثمنه 250 دولاراً، وقد تم عرضه لمناسبة الأعياد مع حسم 35% من ثمنه. تريد الآن أن تعرف كم تبلغ قيمة الحسم من ثمنه بالدولار. كل ما عليك هو أن تستعمل معادلة التناسب ولكن هذه المرة المجهول x سيكون قيمة الحسم:

لاحظ أن الطرف الأول من المعادلة يحتوي على قيمة الحسم المجهول x من 250 دولاراً، والطرف المقابل يحتوي على نسبة الحسم 35 من 100.
لنحسب الآن قيمة الحسم x بالدولار:

إذاً تبلغ قيمة الحسم 87.5 دولاراً. أي أن ثمن المنتج سيصبح 250 – 87.5 = 162.5 دولاراً.

مثال 2:

تبلغ نسبة الكربوهيدرات في كعكة 42%. كيف أستطيع أن أحسب كمية الكربوهيدرات التي أستهلكها في حال تناولت 170 غرام من هذه الكعكة؟
نطبق بنفس الطريقة معادلة التناسب كالتالي:

لاحظ أن الطرف الأول من المعادلة يحتوي على كمية الكربوهيدرات المجهولة من 170 غرام، والطرف المقابل يحتوي على نسبة الكربوهيدرات 42 من 100.
لنحسب الآن كمية الكربوهيدرات بالغرام الموجودة في الكعكة:

وبالتالي فإن كمية الكربوهيدرات التي تحتويه الكمية التي سأتناولها من الكعك أي في 170 غرام من الكعك هو 71.4 غرامات.

تستطيع الآن أن تحسب النسبة المئوية للأجزاء بطريقة جداً سهلة، كما يمكنك بعد الآن استخدام النسب المئوية لحساب القيمة الحقيقية للأجزاء. ولا يزال هناك العديد من الاستعمالات للنسب المئوية أضف إلى النسبة المئوية التصاعديّة والنسبة المئوية التنازلية. لكن المبدأ الأساس في كل الاستعمالات هو ما ذكرناه في هذا المقال آملين أقصى الإفادة.

اقرأ أيضًا

الأشكال الهندسية في الرياضيات

ما هي الأعداد الأولية في الرياضيات

تقريب الأعداد في الرياضيات

فيثاغورس: عالم رياضيات وساحر

تاريخيا”، على الرغم من أن الآثار الأولى لاكتشاف الأعداد الأولية تعود إلى أكثر من 20000 عام (ربما حتى قبل اختراع الأبجدية!). فإن أول كتابات معتمدة عن الأعداد الأولية تعود إلى حوالي 3 قرون قبل الميلاد. نعلم أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. لكنهم لم يكشفوا بعد كل أسرارها.

ما هي الأعداد الأولية

• تعريف

في الرياضيات ، العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمان فقط لا غير، هما 1 والعدد نفسه. وعليه فأي عدد يملك قاسما” غير 1 ونفسه يكون عددا” غير أولي.
كما يوجد تعريفات مكافئة مختلفة أخرى كالذي سيمرّ أدناه.
على سبيل المثال، العدد الصحيح 7 هو عدد أولي لأن 1 و 7 هما العددان الصحيحان الوحيدان اللذان يشكلان قواسم 7 أي أن 7 يقبل القسمة على 1 و 7 (نفسه) فقط لا غير.
أما العدد 6 مثلا” فقواسمه هي 1، 2، 3 و 6 إذا” يملك قواسم غير 1 و نفسه وبالتالي فهو عدد غير أولي.
أي عدد زوجي هو مضاعف 2 أي يقبل القسمة على 2 وحيث أنه يملك قاسم غير 1 ونفسه فهو بالتأكيد عدد غير أولي. وبالتالي فإن جميع الأعداد الأولية فردية باستثناء الرقم 2 نفسه.

• تعريف آخر

كتعريف آخر العدد الأولي هو العدد الذي لا يمكن كتابته على شكل حاصل ضرب عددين طبيعيين أصغر.
على سبيل المثال ، 23 هو عدد أولي. لأنه لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عددين أصغر إنما يُكتب فقط على شكل 1×23. أما العدد 21 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن كتابته على أنه حاصل ضرب 7 في 3 (7 × 3 = 21).
هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق الذي ينص على أن العدد الأولي هو العدد الذي يكون 1 ونفسه هما القواسم الوحيدة.

بعض خصائص الأعداد الأولية

• يمكن الحصول على قوائم الأعداد الأولية الأقل من حد معين ، أو المدرجة بين حدين ، من خلال طرق حسابية مختلفة. ولكن لا يمكن أن تكون هناك قائمة شاملة ومحدودة للأعداد الأولية ، لأننا نعلم أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. لا يوجد أي صيغ بسيطة لإنتاج مثل هذه القوائم.

الأعداد الأولية الأقل من 100 هي: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 و 73 و 79 و 83 و 89 و 97. لكن القائمة لا تنتهي لأنّ الأعداد الأوّلية هي أعداد لا نهائية كما ذكرنا سابقا”.

• العددين 0 و 1 ليسا أعدادا” أولية؛ 0 لأنه يمكن كتابته كحاصل ضرب لكل الأعداد في صفر، 3×0 = 0، 4×0 = 0، …. أما 1 فهو يملك قاسم صحيح واحد فقط لا غير وهو 1 أي أنه قابل للقسمة على 1 فقط و هذا ما يخالف التعريف السابق ذكره بأن الأعداد الأولية تقبل القسمة على قاسمين اثنين. إذا” تبدأ الأعداد الأولية بالرقم 2 القابل للقسمة على 1 و على نفسه (2) فقط لا غير.

تمييز و تحديد الأعداد الأولية

تقوم الاختبارات الأولى التي تحدد ما إذا كان الرقم أوليًا بمحاولة تقسيمه على جميع الأرقام التي لا تتجاوز جذره التربيعي: مثلا” نجرّب قسمة العدد 64 على كل الأرقام دون جذره التربيعي أي دون 8 إذا كان قابلاً للقسمة على واحد منهم ، فهو غير أولي، وإذا لم يكن كذلك، يكون عددا” أوليا”. ومع ذلك ، يمكن جعل هذه الطريقة أكثر كفاءة و سهولة: فهي تقترح الكثير من الأقسام غير الضرورية، على سبيل المثال، إذا كان العدد غير قابل للقسمة على 2، فلا فائدة من اختبار ما إذا كان قابلاً للقسمة على 4. في الواقع ، يكفي اختبار قابليتها للقسمة على جميع الأعداد الأولية التي لا تتجاوز جذرها التربيعي.

وتكون الطريقة الأكثر كفاءة في بعض الأحيان تتمثل في اختبار قابلية قسمة العدد فقط على أعداد أولية صغيرة في قائمة ثابتة مسبقًا (على سبيل المثال 2 و 3 و 5) ، ثم بكل الأعداد الصحيحة الأقل من الجذر التربيعي للعدد التي لا تقبل القسمة على الأعداد الأولية الصغيرة المختارة.

إذا” للتعرف على الأعداد الأولية يجب أن تعرف أولاً معاييرك للقسمة. لذلك نقوم بالتذكير التالي:

تذكير بسيط:

•  معرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة على 2: انظر إلى الرقم الأخير (الوحدات)من العدد: يكون العدد قابل للقسمة على 2 إذا ، وفقط إذا كانت وحداته 0،2،4،6 أو 8 (إذا كان رقم الوحدات زوجيًا) ؛
  مثلا” في العدد 457326: الرقم الأخير (الوحدات) هو 6 ، لذا فإن هذا العدد يقبل القسمة على 2.
  254،489: الرقم الأخير هو 9 ، لذا فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 2.
•  معرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة على 3: احسب مجموع أرقام العدد، فالعدد يقبل القسمة على 3 إذا ، وفقط إذا كان هذا المجموع يقبل القسمة على 3 مثلا” في العدد 111111111: المجموع 9 ، و 9 يقبل القسمة على 3 (9/3 = 3) ، لذا فإن هذا العدد يقبل القسمة على 3.
  في العدد 112111111: المجموع 10 ، و 10 لا يقبل القسمة على 3 ، لذا فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 3.
•  معرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة على 5: انظر إلى الرقم الأخير (الوحدات)، يكون العدد قابل للقسمة على 5 إذا ، وفقط إذا كانت وحداته 0 أو 5
  مثلا” في العدد 4825: الرقم الأخير هو 5 ، لذا فإن هذا العدد يقبل القسمة على 5.
  في العدد 78524: الرقم الأخير هو 4 ، لذا فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 5.

أمثلة عن تحديد الأعداد الأولية:

2: هو رقم أولي لأنه يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه 2 فقط.
3: هو رقم أولي لأنه يقبل القسمة على 1 و على 3 فقط.
4: ليس عددًا أوليًا لأنه يقبل القسمة على 2 وليس فقط على 1 و4 أي أن لديه 3 قواسم؛ 1،2 و4.
5: هو رقم أولي لأنه يقبل القسمة على 1 و 5 فقط.
6: هو رقم غير أولي لأنه يقبل القسمة على 3 أي على رقم غير 1 و 6 كما أنه يقبل القسمة على 2 وبالتالي لديه 4 قواسم؛1،2،3 و6.

7: هو رقم أولي لأنه يقبل القسمة على 1 و 7 فقط.
41: هو رقم أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 و 41.
123: ليس عددًا أوليًا ، لأنه قابل للقسمة على 3 (بما أن مجموع أرقامه 6 قابلة للقسمة على 3 كما ورد في التذكير أعلاه).
462: ليس عددا” اوليا” لأنه يقبل القسمة على 2 بما أن وحداته 2.
755: ليس عددا” أوليا” لأنه يقبل القسمة على 5 بما أن وحداته 5.

أخيرا” تجدر الإشارة إلى أن الأعداد غير الأولية أي التي تملك 3 قواسم على الأقل تسمى أعدادا” مركبة. ولا ننسى أن 0 و 1 ليسا أوليين ولا مركبين.

إقرأ أيضاً

تقريب الأعداد في الرياضيات

تعلّم كيف تحسب فائدة البنك

التمثيل البياني للجداول التكرارية

تقريب الأعداد في الرياضيات .. كثيرا” ما نستعمل تقريب الأعداد في القياس، في الوزن، في المجموع… وهو عبارة عن إزالة أو إضافة وحدات في نهاية العدد، للحصول على عدد صحيح أبسط من العدد الحقيقي. تختلف قواعد وتقنيات التقريب وفقًا للغرض المقصود (سهولة القراءة والدقة) ونوع المستند (الإحصائيات والتعميم).
الأكثر شيوعًا هو تقريب الأعداد الصحيحة لأقرب عشرة ، لأقرب مائة ، لأقرب ألف وكذلك تقريب الأعداد العشرية إلى أقرب وحدة.

كيفية تقريب عدد لأقرب عشرة:

إذا أردنا تقريب الأعداد 432 و 438 و 435 لأقرب عشرة. دعنا نحدد موقعهم على خط الأعداد: نبحث عن أقرب عشرة للعدد المطلوب تقريبه. هنا ، كل الأعداد المطلوب تقريبها تقع بين العشرتين 430 و 440.
العدد 432 أقرب إلى 430 منه إلى 440 ؛ إذا” يمكننا أن نقول بأن 432 ≈ 430
(الإشارة ≈ تعني تقريبا” يساوي، أي تدلّ على التقريب)
العدد 438 أقرب إلى 440 منه إلى 430 ؛ إذا” يمكننا أن نقول بأن 438 ≈ 440
العدد 435 يبعد نفس المسافة من 430 و 440 ؛ سوف نأخذ القيمة الأكبر لنكتب: 435 ≈ 440

إجراء التقريب لأقرب عشرة:

• أوّلا”- أحدّد رقم العشرات (المنزلة الثانية في العدد).
• ثانيا”- أنظر إلى الرقم الموجود على يمينه (المنزلة الأولى أي منزلة الوحدات).
  إذا كان الرقم أقل من 5: أحتفظ برقم العشرات ، وأضع 0 في منزلة الوحدات.
  إذا كان الرقم أكبر من (أو يساوي) 5: أضيف عشرة واحدة، وأضع 0 في منزلة الوحدات.

تطبيق عبر أمثلة:

• مثال أول: لتقريب العدد 432 إلى أقرب عشرة؛

• أحدّد رقم العشرات (المنزلة الثانية)؛ وهو 3
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 2، أجد أنه أصغر من 5 إذا” أحتفظ برقم العشرات نفسه 3 و أضع 0 في المنزلة التي تسبقه أي الالوحدات ليصبح عدد العشرات الأقرب هو 430. وبالتالي أكتب 432 ≈ 430

• مثال ثانٍ: لتقريب العدد 438 إلى أقرب عشرة؛

• أحدّد رقم العشرات؛ وهو 3
   أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 8، أجد أنه أكبر من 5 إذا” أضيف عشرة لرقم العشرات لتصبح ال 3 في منزلة العشرات 4 و أضع 0 في المنزلة التي تسبقه أي الوحدات ليصبح عدد العشرات الأقرب هو 440. وبالتالي أكتب 438 ≈ 440

• مثال ثالث: لتقريب العدد 435 إلى أقرب عشرة؛

• أحدّد رقم العشرات؛ وهو 3
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 5، أجد أنه يساوي 5 إذا” أضيف عشرة لرقم العشرات لتصبح ال 3 في منزلة العشرات 4 و أضع 0 في المنزلة التي تسبقه أي الوحدات ليصبح عدد العشرات الأقرب هو 440، وبالتالي أكتب 435 ≈ 440

كيفية تقريب عدد لأقرب مائة:

إذا أردنا تقريب الأعداد 3237 و 3281 و 3250 لأقرب مائة. دعنا نحدد موقعهم على خط الأعداد: نبحث عن أقرب مائة للعدد المطلوب تقريبه. هنا ، جميع الأعداد المطلوب تقريبها تقع بين العددين 3200 و 3300.
العدد 3237 أقرب إلى 3200 منه إلى 3300 ؛ إذا” يمكننا أن نقول أنّ 3237 ≈ 3200
العدد 3281 أقرب إلى 3300 منه إلى 3200 ؛ إذا” يمكننا أن نقول أنّ 3281 ≈ 3300
العدد 3250 يقع على نفس المسافة من 3200 كما من 3300 ؛ إذا” سنأخذ أكبر قيمة لنكتب: 3250 ≈ 3300

إجراء التقريب لأقرب مائة:

• أوّلا”- أحدّد رقم المئات (المنزلة الثالثة في العدد)
• ثانيا”- أنظر إلى الرقم الموجود على يمينه (المنزلة الثانية أي منزلة العشرات).
  إذا كان الرقم أقل من 5: أحتفظ برقم المئات ، وأضع 0 في خانتي الوحدات والعشرات.
  إذا كان الرقم أكبر من (أو يساوي) 5: أضيف مائة واحدة ، وأضع 0 في خانتي الوحدات والعشرات.

تطبيق عبر أمثلة:

• مثال أول: لتقريب العدد 3237 إلى أقرب مائة؛

• أحدد رقم المئات (المنزلة الثالثة)؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 3، أجد أنه أصغر من 5 إذا” أحتفظ برقم المئات نفسه 2 و أضع 0 في المنازل التي تسبقه أي الوحدات و العشرات ليصبح عدد المئات الأقرب هو 3200، وبالتالي أكتب 3237 ≈ 3200

• مثال ثانٍ: لتقريب العدد 3281 إلى أقرب مائة؛

• أحدد رقم المئات؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 8، أجد أنه أكبر من 5 إذا” أضيف مائة لرقم المئات لتصبح ال 2 في منزلة المئات 3 و أضع 0 في منزلتي الوحدات و العشرات ليصبح عدد المئات الأقرب هو 3300، وبالتالي أكتب 3281 ≈ 3300

• مثال ثالث: لتقريب العدد 3250 إلى أقرب مائة؛

• أحدد رقم المئات؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 5، أجد أنه يساوي 5 إذا” أضيف مائة لرقم المئات لتصبح ال 2 في منزلة المئات 3 و أضع 0 في منزلتي الوحدات و العشرات ليصبح عدد المئات الأقرب هو 3300، وبالتالي أكتب 3250 ≈ 3300

كيفية تقريب عدد لأقرب ألف:

إذا أردنا تقريب الأعداد 2321 و 2842 و 2500 لأقرب ألف. دعنا نحدد موقعهم على خط الأعداد: نبحث عن وحدة الألف الأقرب للعدد المطلوب تقريبه. هنا ، تقع جميع الأعداد المطلوب تقريبها بين وحدتي الألف 2000 و 3000.
العدد 2321 أقرب إلى 2000 منه إلى 3000 ؛ إذا” يمكننا أن نقول 2321 ≈ 2000
العدد 2842 أقرب إلى 3000 من 2000 ؛ لذلك يمكننا القول أن 2842 ≈ 3000
العدد 2500 هو على نفس المسافة من 2000 و 3000 ؛ سنأخذ أكبر قيمة لنكتب: 2500 ≈ 3000

إجراء التقريب لأقرب آلاف:

• أوّلا”- أحدّد رقم الآلاف (المنزلة الرابعة في العدد)
• ثانيا”- أنظر إلى الرقم الموجود على يمينه (المنزلة الثالثة أي منزلة المئات).
  إذا كان الرقم أقل من 5: احتفظ برقم الآلاف نفسه، وأضع 0 في المنازل التي تسبقه أي الوحدات والعشرات والمئات.
  إذا كان الرقم أكبر من (أو يساوي) 5: أضيف ألفا” واحدة في منزلة الآلاف ، وأضع 0 في أرقام المنازل السابقة أي الوحدات والعشرات والمئات.

تطبيق عبر أمثلة:

• مثال أول: لتقريب العدد 2321 إلى أقرب ألف؛

• أحدد رقم الآلاف (المنزلة الرابعة)؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 3، أجد أنه أصغر من 5 إذا” أحتفظ برقم الآلاف نفسه 2 و أضع 0 في الخانات السابقة أي الوحدات والعشرات والمئات، ليصبح عدد الآلاف الأقرب هو 2000. وبالتالي أكتب 2321 ≈ 2000

• مثال ثانٍ: لتقريب العدد 2842 إلى أقرب ألف؛

• أحدد رقم الآلاف؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 8، أجد أنه أكبر من 5 إذا” أضيف ألفا” واحدة لرقم الآلاف لتصبح ال 2 في منزلة الآلاف 3 و أضع 0 في المنازل السابقة أي الوحدات والعشرات والمئات. ليصبح عدد الآلاف الأقرب هو 3000. وبالتالي أكتب 2842 ≈ 3000

• مثال ثالث: لتقريب العدد 2500 إلى أقرب ألف؛

• أحدد رقم الآلاف؛ وهو 2
• أنظر إلى الرقم الذي يسبقه؛ وهو 5، أجد أنه يساوي 5 إذا” أضيف ألفا” واحدة لرقم الآلاف لتصبح ال 2 في منزلة الآلاف 3 و أضع 0 في المنازل السابقة أي الوحدات والعشرات والمئات. ليصبح عدد الآلاف الأقرب هو 3000. وبالتالي أكتب 2500 ≈ 3000

كيفية تقريب الأعداد العشرية لأقرب وحدة:

إذا أردنا تقريب الأعداد 3.71 و 3.28 و 3.56 إلى أقرب وحدة، وعبر تحديد الموقع على خط الأعداد نجد أن 3.71 أقرب إلى 4 منه إلى 3 وعليه تكون الوحدة الأقرب هي 4 فنكتب 3.71 ≈ 4.
أما العدد 3.28 فهو أقرب إلى 3 منه إلى 4 وعليه تكون الوحدة الأقرب له هي 3 فنكتب 3.28 ≈ 3.
والعدد 3.56 يبعد نفس المسافة عن 3 و 4 فنأخذ العدد الصحيح الأكبر وهو 4 فنكتب 3.56 ≈ 4.

إجراء تقريب الأعداد العشرية لأقرب وحدة:

أبحث عن رقم الكسر العشري الأول (المنزلة الأولى بعد الفاصلة)؛

• إذا كان الرقم أقل من 5: أحافظ على نفس الوحدة في العدد.
  مثال: في العدد 3.28 رقم الكسر العشري الأول هو 2 أصغر من خمسة إذا” أحافظ على نفس الوحدة في العدد أي تكون الوحدة الأقرب هي 3 (ما يعادل 3.00).
  نكتب 3.28 ≈ 3
• إذا كان الرقم أكبر من (أو يساوي) 5: أقوم بالتقريب إلى الوحدة الأكبر.
  مثال: في العدد 3.71 رقم الكسر العشري الأول هو 7 أكبر من 5 إذا” أقوم بالتقريب إلى الوحدة الأكبر وهي 4 (ما يعادل 4.00)
  نكتب 3.71 ≈ 4

وما يزال هناك المزيد من احتمالات التقريب وهو يتبع مجال استخدامه إن في الرياضيات أو المواد العلمية من فيزياء و كيمياء وغيرها وما ذكرناه هو أساسيات التقريب الأكثر استعمالا”.

اقرأ أيضًا

تعليم التوحيد

أنواع الاستماع

منصة مدرستي… وكيف يمكنك أن تنشئ مسارًا تعليميًا من خلالها؟؟

تعلّم كيف تحسب فائدة البنك .. فتح حساب توفير في البنك خطوة مهمة تعود بالفائدة على الأفراد، لأن هذه الحسابات تحقق عائداً (فائدة) مقابل إيداع رأس المال.

لكن بالرغم من بساطة المفهوم يمكن أن تظهر العديد من الأسئلة الشائكة بشأن هذا المفهوم الخاص بالقطاع المصرفي. أهم الأسئلة التي نواجهها هي كيفية حساب الفائدة للودائع.

فلا بد لمن يرغب بفهم هذه العملية بطريقة واضحة من الاطلاع على كيفية حساب الفائدة البنكية وهذا يتطلب تفسيرات عديدة نذكرها في ما يلي.

لماذا يستخدم البنك الفائدة؟

يمكن تلخيص نشاط البنك على النحو التالي: إنه مؤسسة تجمع الأموال ثم تستثمرها بطريقة أخرى. بالطبع، يعرض أيضاً مجموعة من الخدمات المالية التكميلية. لكن التحصيل والاستثمار هي الأنشطة الأساسية. قد تكون الاستثمارات التي تقوم بها البنوك عبارة عن قروض يتم منحها للشركات أو الأفراد.

إذا أقرضك البنك المال، فسيطلب رسوماً مقابل هذه الخدمة. وبالتالي فإن الفائدة هي وسيلة البنك في استيفاء رسوم الخدمات. لذلك، كلما قام البنك بجمع المدخرات، كلما زادت قدرته على الإقراض. وكلما تمكن من الإقراض، كلما زادت الارباح…

وعليه يتعين على البنوك تشجيع الناس قدر الإمكان على إيداع الأموال لديها. ولتشجيعك على تقديم أموالك، تقدم لك البنوك ربحاً صغيراً على ودائعك وهي ما نسميه الفائدة، بمثل هذه الطريقة يفوز الطرفان. بالطبع، فوائد القروض التي يقدمون تكون أكبر من فوائد حسابات التوفير الخاصة بالأفراد. أضف إلى أنه يبقى عليهم دفع ايجارات المؤسسة ومخصصات موظفيهم وغيرها ويأخذون في الاعتبار خطر عدم سداد القروض المقدمة.يجب معرفة أن أسعار الفائدة المقدمة في حسابات التوفير ترتبط بأسعار الفائدة المقدمة للحصول على القروض: إذا أراد البنك أن يكون رابحاً، فيجب عليه أن يدفع لك أقل مما يدفعه بنفسه، وبالتالي يقدم لك فائدة أقل من الفائدة التي يتلقاها.

حساب الفائدة البسيطة

تسمى الصيغة المستخدمة في حساب الفائدة “صيغة الفائدة البسيطة”. يجب على الجميع فهم عملياتها بطريقة سريعة. من ناحية أخرى، طرائق حساب الفائدة يمكن أن تصبح معقدة أكثر.

يتم حساب قيمة الفائدة لرأس المال المودع باتباع الصيغة التالية:

الفائدة البسيطة = قيمة رأس المال × نسبة الفائدة السنوية (٪) × المدة

• قيمة رأس المال، هو المبلغ الذي وضعته في حساب التوفير.
• نسبة الفائدة السنوية لحساب التوفير  تنقسم إلى عائدين منفصلين:

 المعدل الأساسي بالنسبة المئوية: المعدل الأساسي كنسبة مئوية، على مدار فترة سنوية. وهي تنطبق                    مباشرة على رأس المال، دون قيود. وبالتالي يتم التعبير عن المعدل الأساسي بشكل عام بهذه الطريقة: “حساب التوفير بعائد 1٪ سنوياً”

مكافأة الولاء بالنسبة المئوي: مكافأة الولاء أيضا كنسبة مئوية، وسيتم إضافتها إلى سعر الفائدة لرأس المال الذي بقي في حسابك لمدة 12 شهرا على الأقل. سيتم التعبير عنها مثل هذا: “[…] + 0.75٪ مكافأة الولاء”. يتم تقديم مكافأة الولاء هذه فقط لحسابات التوفير المنظمة.

سيكون إجمالي سعر الفائدة السنوي لهذا الحساب الوهمي 1.75٪: “حساب التوفير بعائد بنسبة 1٪ للعام + 0.75٪ مكافأة الولاء.”. لا تنسى في الأشهر الأولى تحصل فقط على المعدل الأساسي 1%! يتم دفع مكافأة الولاء فقط بعد اثني عشر شهرا.

• المدة هو الوقت الذي يمر على ايداع رأس المال في حساب التوفير الخاص بك؛ يعبر عنه في شكل جزء بسيط من السنة. انتباه: السنة المصرفية تشمل فقط 30 يوما للشهر لما مجموعه 360 يوما في السنة.

إذا اودعت أموالك يوما ما في الحساب، فستكون المدة بالأيام 1/360 ثم 2/360 وهكذا، أما بالأشهر، فتكتب 1/12 ثم 2/12 وهكذا. إذا كانت المدة بالسنة، فسوف نستخدمه مباشرة كالتالي 12/12 للسنة الواحدة،  او 360/360 .

مثال لحساب الفائدة البسيطة لتفهم أكثر
لتكون متأكدا من أن كل شيء واضح حول هذه الصيغة واستخدامها، سنحاول حساب تقييم حساب وهمي. لذلك، استعد لاختبار معلوماتك وطبق على الحساب المصرفي الخاص بك.

دعنا نقول أنه في 1 يناير، ترغب في وضع 10.000 يورو في حساب التوفير المنظم ومصرفك الخاص بك قدم عرضاً كالتالي: “يمكنني أن أقدم لك حساب توفير بنسبة عائد 1٪ للعام + 0.75٪ مكافأة الولاء.”

إذاً، نحن نعرف بالفعل رأس المال الأساسي (10.000 يورو) ومعدل الفائدة المقترح (1.75٪ سنويا). في الواقع، لدينا بالفعل جميع المعلومات لحساب الفائدة التي سنحصل عليها باستثناء الوقت الذي ستبقى فيه الأموال في البنك.

إنتبه إلى أن المدة التي تكون أقل من سنة يحسب فقط المعدل الأساسي الذي هو 1% فقط.
لتحصل على الفائدة الكاملة 1.75% يجب أن تتخطى المدة السنة و عليه لنحسب الفائدة تبعاً لعدد السنوات:

• حساب أكثر من عام

اعتبارا من 1 يناير من العام التالي، يتم تطبيق مكافأة الولاء بما أن الأموال بقيت على مدار عام.
الحساب هو: 10000 يورو × 1.75٪ × 12/12 = 175 يورو.
(ملاحظة مهمة: لا تنسى وضع إشارة % بجانب 1.75 عند استخدام الآلة الحاسبة أو استبدلها بالقسمة على مئة)

• حساب على مدى عدة سنوات

يمكننا أن نفعل ذلك دون مشكلة، ولكن سيتعين على الصيغة الاعتماد على أنه كل سنة، ستضيف العائد السابق الذي حققته في حسابك!
وعليه يكون الحساب كما يلي:

بعد عام كما ذكرنا سابقاً حققت فائدة بقيمة 175 يورو وعليه أصبح رصيدك للعام الجديد 10175 يورو.

10175يورو × 1.75٪ × 12/12 = 178 €. يمثل هذا، الفائدة التي تحصل عليها في السنة الثانية على مبلغ البداية.

في المجموع، مع 10،000 يورو في البداية، تحصل على 175 يورو بعد عام وفي السنة الثانية ستضيف 178 يورو ليصبح الآن المبلغ الكامل في حسابك 10.000 € + 175 € + 178 € = 10.353 €. لذلك، أنت تعرف حتى قبل توقيع العقد بعد عامين فقط من استثمارك الأولي، ستحصل على 353 €.
وهكذا ان اردت ان تتابع للسنة الثالثة سيكون رصيدك 10353€ لتكمل الحساب بنفس الطريقة.
ميزة هذه الصيغة أنك تتكيف معها بسرعة كبيرة. يمكنك زيادة رأس مال البداية لمعرفة مقدار ما سوف تربحه عن طريق وضع أموال أكثر أو أقل أو لفترة زمنية أكثر أو أقل.

حساب الفوائد المركبة

تطبق هذه الصيغة عند إضافة الفوائد كل فترة (كل شهر، كل فصل) إلى حسابك حتى تزيد القيمة النقدية لرأس المال، وبالتالي لتحقق هذه الأرباح بدورها أرباحاً جديدة. هذه الطريقة توفر أرباحاً أكبر من تلك عندما يتم دفعها فقط في نهاية كل عام لأن الفوائد تبدأ بتحقيق فوائد جديدة بمجرد أن تضاف إلى رأس المال الخاص بك. لسوء الحظ، عدد قليل جدا من البنوك يستخدم هذا النظام وربما لن تضطر إلى استخدام هذه الصيغة.

صيغة الفائدة المركبة

المبلغ النهائي = الكمية الأولية لرأس المال × (1+ (معدل الفائدة السنوي / عدد الفترات)) ^ (عدد الفترات ×  المدة)

هذه الصيغة ليست أكثر تعقيدا بكثير من الأول حتى لو كانت للوهلة الأولى قد تبدو مخيفة. يكفي أن تطبق نفس التمرين السابق مع بعض التغيير . يجب التمييز جيداً بين عدد الفترات والمدة. إذا قمت بتقديم أموالك لمدة 5 سنوات، وفتحت هذه المصالح كل شهر، فإن المدة هو 5 وعدد الفترات هو 12. أما اذا كانت الفوائد تدفع كل فصل(ربع السنة) فعدد الفترات يكون 4، و اذا كانت تدفع على دفعتين في السنة فهي تساوي 2.

مثال لحساب الفائدة مع صيغة الفائدة المركبة

لنأخذ نفس المثال السابق حيث وضعت في حسابك 10،000 يورو بمعدل أساسي قدره 1٪ ومكافأة ولاء بنسبة 0.75٪ ولكن هذه المرة يتم دفع فوائدك كل شهر.

• لنحسب لعام واحد

10000 يورو × (1 + (1.75٪ / 12)) ^ 12 = 10176،41 €
اذاً 176.41 € هي فائدة السنة الأولى.

• دعونا نحسب لعامين:

10000يورو × (1 + (1.75٪ / 12)) ^ 24 = 10355،93 يورو

سوف تقول أنه لا يوجد فارق كبير عن الحساب بصيغة الفوائد البسيطة وأنت على حق. في الواقع، بمعدل 1٪ مع دفعات شهرية، لن تربح الكثير. ومع ذلك، مع دفع  الفائدة كل يوم و / أو ارتفاع نسبة الفائدة، يمكن أن يرى البعض الفرق بسرعة ويكون مثيرا للاهتمام.

اقرأ أيضًا

المدرسة المثالية لتعليم الأطفال ذوي الإحتياجات الخاصة

منصة مدرستي… وكيف يمكنك أن تنشئ مسارًا تعليميًا من خلالها؟؟

التعليم، والتعلم عن بُعد